[2015년 저현고]

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[2학년 2학기 중간 기하와 벡터]

두 벡터 [eqn: vec{a} =(-3,```1-x,```2)], [eqn: vec{b} =(-4,```x,```0)]에 대하여 [eqn: vec{a} BOT vec{b}]일 때, 양수 [eqn: x]의 값은? [4.6점]

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 12]

두 직선 [eqn: l _{1} : {x-1} over {2} =y-1= {3-z} over {2}], [eqn: l _{2} : {x+1} over {2} =5-y], [eqn: z=4]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값은? [4.6점]

②

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {sqrt {5}} over {5}]	③ [eqn: {sqrt {6}} over {6}]

④ [eqn: {sqrt {7}} over {7}]	⑤ [eqn: {sqrt {2}} over {4}]

그림과 같은 직육면체에서 선분 [eqn: rmDF]와 선분 [eqn: rmBG]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: theta]의 값은? [4.7점]

⑤

① [eqn: 0DEG]	② [eqn: 30DEG]	③ [eqn: 45DEG]

④ [eqn: 60DEG]	⑤ [eqn: 90DEG]

직선 [eqn: {x+1} over {2} =y-3=1-z]가 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} +2x-8z+k=0]에 접할 때, 실수 [eqn: k]의 값은? [4.7점]

④

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

그림과 같이 세 변 [eqn: rmPQ], [eqn: rmQR], [eqn: rmRP]의 길이가 각각 [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]인 삼각형 [eqn: rmPQR]의 세 꼭짓점을 지나는 구의 중심을 [eqn: rmO]라고 할 때,
[eqn: {rmvecQO cdot( vecQP + vecQR )}= q overp]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4.9점]

①

① [eqn: 43]	② [eqn: 44]	③ [eqn: 45]

④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 47]

좌표공간의 두 점 [eqn: rmA(1,```4,```0)], [eqn: rmB(-3,```2,```2)]와 평면
[eqn: alpha :x+2y+z-2=0]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영의 길이는? [4.9점]

③

① [eqn: sqrt {6}]	② [eqn: 2 sqrt {3}]	③ [eqn: 3 sqrt {2}]

④ [eqn: 2 sqrt {6}]	⑤ [eqn: sqrt {30}]

그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 1]인 정사면체 [eqn: rmO-ABC]에서 삼각형 [eqn: rmOAB]의 무게중심을 [eqn: rmG], 선분 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmM]이라고 할 때, [eqn: rmvec{BG} cdot vec{BM}]의 값은? [5.0점]

②

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

그림과 같이 평면 [eqn: 3x+y-2z=-5] 위의 점 [eqn: rmA(1,```0,```4)]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: sqrt {6}]인 원 [eqn: C]가 있다. 점 [eqn: rmP(6,```3,```6)]에서 원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmQ]까지의 거리의 최솟값은? [5.0점]

④

① [eqn: 2 sqrt {2}]	② [eqn: 2 sqrt {3}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 2 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {6}]

그림과 같이 밑면의 중심이 [eqn: rmA]이고 반지름의 길이가 [eqn: 6], 높이가 [eqn: 9], 꼭짓점이 [eqn: rmO]인 직원뿔이 있다. [eqn: 0 LEQ t LEQ 1]인 실수 [eqn: t]와 밑면의 원 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: vec{rmOQ} =t vec{rmOA} + {1} over {3} (1-t) vec{rmOP}]를 만족시키는 점 [eqn: rmQ]가 나타내는 도형의 넓이는? [5.2점]

⑤

① [eqn: 8 sqrt {2} `pi]	② [eqn: 2 sqrt {34} pi]	③ [eqn: 12pi]

④ [eqn: 5 sqrt {6`} pi]	⑤ [eqn: 4 sqrt {10`} `pi]

좌표공간에서 중심이 [eqn: (1,```2,```3)]이고 직선
[eqn: x-2= {y+2} over {2} = {10-z} over {3}]와 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 만나는 구와 이 구 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있다. 두 벡터 [eqn: rmvecAP], [eqn: rmvecAB]에 대하여 [eqn: rmvec{AP} cdot vec{AB} = LEFT | vec{AB} RIGHT | ^{2}]이 성립할 때, 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형의 길이는? [5.2점]

①

① [eqn: 2 sqrt {10} pi]	② [eqn: 2 sqrt {11} `pi]	③ [eqn: 4 sqrt {3} `pi]

④ [eqn: 2 sqrt {13} `pi]	⑤ [eqn: 2 sqrt {14} `pi]

그림과 같이 좌표공간에서 두 원
[eqn: C _{1} :x ^{2} +y ^{2} =9,````z=2# C _{2} :x ^{2} +y ^{2} =16,````z=3]
이 있다. 원 [eqn: C _{1}] 위의 점 [eqn: rmP]와 원 [eqn: C _{2}] 위의 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: vec{rmOP}]와 [eqn: vec{rmOQ}]가 이루는 각을 [eqn: theta]라 하자. [eqn: rmvec{OP} cdot vec{OQ}]의 값이 최소일 때, [eqn: costheta=- {q} over {p} sqrt {13}]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이고, [eqn: rmO]는 원점이다.) [5.2점]

①

① [eqn: 71]	② [eqn: 72]	③ [eqn: 73]

④ [eqn: 74]	⑤ [eqn: 75]

좌표공간에서 두 구
[eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =9],
[eqn: (x-2) ^{2} +(y+1) ^{2} +(z-2) ^{2} =16]
이 만나서 생기는 원의 [eqn: zx]평면 위로의 정사영의 넓이를 [eqn: {b} over {a} pi]라고 할 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 서로소인 자연수이다.) [5.2점]

③

① [eqn: 89]	② [eqn: 98]	③ [eqn: 107]

④ [eqn: 116]	⑤ [eqn: 125]

한 모서리의 길이가 [eqn: 1]인 정육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]가 있다. 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 이 정육면체의 면 또는 모서리 위를 움직일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [5.4점]

②

ㄱ. [eqn: rmvec{AP} cdot vec{AQ} GEQ 0]

ㄴ. [eqn: rmvec{AP} cdot vec{AQ} LEQ 3]

ㄷ. [eqn: rmvec{AP} cdot vec{GQ} GEQ 0]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

직선 [eqn: {x} over {cos`theta`+ sqrt {3}} = {-y} over {2} = {z-2} over {6}]과 평면 [eqn: kx+(2+sin`theta)y+z=1]이 평행하도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은? [5.4점]

⑤

① [eqn: - sqrt {2}]	② [eqn: - sqrt {3}]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: -2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: -2 sqrt {3}]

서술형

그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 1]인 정육면체의 전개도를 접어서 만든 정육면체의 꼭짓점들로 이루어진 벡터에 대해 각 물음에 답하시오. [총 4.0점]

(1) [eqn: rmvecAD], [eqn: rmvecFG], [eqn: rmvecEH]

(2) [eqn: 13]

(3) [eqn: rm vecAF]

(1) 벡터 [eqn: vec{rmBC}]와 같은 벡터를 모두 구하시오. [1.5점]

(2) 벡터 [eqn: vec{rmCE}]의 크기를 구하시오. [1.0점]

(3) 벡터 [eqn: vec{rmDG}]와 평행한 벡터를 모두 구하시오. [1.5점]

각 물음에 답하시오. [총 4.0점]

(1) [eqn: { x+1} over {-2 }= { y-2} over { 1}= { z+3} over { -5}]

(2) [eqn: 2(x-1)-2(y-2)+(z+1)=0]

(1) 점 [eqn: (-1,```2,```-3)]을 지나고, 벡터 [eqn: vec{u} =(-2,```1,```-5)]에

평행한 직선의 방정식을 구하시오. [2.0점]

(2) 점 [eqn: (1,```2,```-1)]을 지나고, 직선 [eqn: {x+1} over {2} = {3-y} over {2} =z-1]에

수직인 평면의 방정식을 구하시오. [2.0점]

그림과 같이 [eqn: rmbar{AB} = bar{AC} =2]인 직각이등변삼각형 [eqn: rmABC]가 밑면이고 [eqn: rmbar{BD} =4]인 모서리 [eqn: rmBD]가 밑면 [eqn: rmABC]에 수직인 삼각뿔 [eqn: rmABCD]가 있다. 모서리 [eqn: rmBD]의 중점을 [eqn: rmE], 모서리 [eqn: rmAC]의 중점을 [eqn: rmF]라 할 때, 두 벡터 [eqn: rmvecAE], [eqn: rmvecDF]의 내적 [eqn: rmvec{AE} cdot vec{DF}]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [5.0점]

[eqn: -12]

평면 [eqn: {x} over {2} + {y} over {3} + {z} over {6} =1]이 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]라 하고, 선분 [eqn: rmAC]의 중점을 [eqn: rmD], 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmE]라고 하자. 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmDE] 위를 움직일 때, [eqn: rmvec{OP} cdot vec{CP}]의 최솟값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [5.0점]

[eqn: -{ 25} over { 3}]

좌표공간에 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가 있다. 점 [eqn: rmA]는 점 [eqn: (0,```0,```-1)]을 출발하여 [eqn: z]축을 따라 [eqn: z]축의 양의 방향으로 매초 [eqn: 1]의 속도로 움직이고, 점 [eqn: rmB]는 원점 [eqn: rmO]를 출발하여 [eqn: x]축을 따라 [eqn: x]축의 양의 방향으로 매초 [eqn: 1]의 속도로 움직이고, 점 [eqn: rmC]는 점 [eqn: (1,```1,```0)]을 출발하여 [eqn: z]축과 평행하게 [eqn: z]축의 양의 방향으로 매초 [eqn: 1]의 속도로 움직이고 있다. 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가 동시에 출발하여 [eqn: t]초 후 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 최소가 되었을 때, [eqn: t]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [6.0점]

[eqn: 1over2]

네 점 [eqn: rmA(2,```0,```0)], [eqn: rmB(0,```8,```0)], [eqn: rmC(0,```0,```8)], [eqn: rmD(6,```4,```2)]에 대하여 [eqn: rmvec{AP} cdot ( vec{PB} + vec{PC} )=0]을 만족하고, 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmD]에서 같은 거리에 있는 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형의 길이를 구하고 그 과정을 서술하시오. [6.0점]

[eqn: 4sqrt { 14}}over3]

[2015년 저현고]

[2학년 2학기 중간 기하와 벡터]

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